Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-2af（x）
（1）若a=3，求函數(shù)G（x）的最小值；
（2）是否存在實數(shù)a使得G（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，0）為增函數(shù)？若存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由f（x）得到g（x），再由g（x）得到G（x），通過求導找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而找到函數(shù)的最值．

解答： 解（1）；∵函數(shù)f（x）=x²+1，
∴g（x）=f[f（x）]
=f（x²+1）=（x²+1）²+1
=x⁴+2x²+2，
當a=3時，
G（x）=g（x）-2af（x）
=x⁴-4x²-4，
∴G′（x）=4x³-8x，令G′（x）=0，解得：x=-1，x=0，x=1，
在（-∞，-1）上，G（x）遞減，在（-1，0）上，G（x）遞增，
∴G（-1）是極小值，G（-1）=-7；
在（0，1）上，G（x）遞減，在（1，+∞）上，G（x）遞增，
∴G（1）是極小值，G（1）=-7；
∴G（x）的最小值是-7．
（2）由（1）得：g（x）=x⁴+2x²+2，
∴G（x）=x⁴+2x²+2-2a（x²+1）
=x⁴+（2-2a）x²+（2-2a），
∴G′（-1）=0，解得；a=

3

2

，
∴存在a=

3

2

，使得G（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，0）為增函數(shù)．

點評：本題屬于求函數(shù)的單調(diào)性及最值的問題，通過求導的方式解決．