Question

某同學用“五點法”畫函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數據如下表：

x	x1	1 3	x2	7 3	x3
ωx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+φ）	0	3	0	- 3	0

（Ⅰ）請求出上表中的x₁，x₂，x₃，并直接寫出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個單位得到函數g（x），若函數g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域為[-

3

，

3

]，且此時其圖象的最高點和最低點分別為P、Q，求

OQ

與

QP

夾角θ的大小．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由五點作圖的第二點和第四點列式求出ω，φ的值，則函數解析式可求，再由五點作圖的第一、三、五點求解x₁，x₂，x₃的值；
（Ⅱ）求出平移后的函數解析式，結合g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域為[-

3

，

3

]求得圖象的最高點和最低點分別為P、Q的坐標，代入向量的夾角公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由圖表可知，

1 3 ω+φ= π 2 7 3 ω+φ= 3π 2

，解得

ω= π 2 φ= π 3

．
由

π

2

x1+

π

3

=0，得x1=-

2

3

．
由

π

2

x2+

π

3

=π，得x2=

4

3

．
由

π

2

x3+

π

3

=2π，得x3=

10

3

．
∴f(x)=

3

sin(

π

2

x+

π

3

)；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移

2

3

個單位得到函數g（x）=

3

sin

π

2

x，
由于g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域為[-

3

，

3

]，
則m≥3，故最高點為P(1，

3

)，最低點為Q（3，-

3

）．
則

OQ

=(3，-

3

)，

QP

=(-2，2

3

)，
則cosθ=

OQ • QP

| OQ |•| QP |

=-

3

2

．
∵θ∈[0，π]，
∴θ=

5π

6

．

點評：本題考查了三角函數的五點作圖法，考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象的變換，訓練了向量的夾角公式的應用，是中檔題．