長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，AA1=4．
（1）說出BD1與平面BCC1B1所成角，并求出它的余弦值；
（2）指出二面角D1-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求該長方體的外接球的表面積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）連結(jié)BC1，則∠D1BC1就是BD1與平面BCC1B1所成角，由此能求出BD1與平面BCC1B1所成角的余弦值．（2）連結(jié)AC，BD，交于O，連結(jié)OD1，則∠DOD1是二面角D1-AC-D的平面角，由此能求出二面角D1-AC-D的正切值．
（3）該長方體的外接球半徑R=
1
2
4+4+16
=
6
，由此能求出該長方體的外接球的表面積．
解答： 解：（1）連結(jié)BC1，則∠D1BC1就是BD1與平面BCC1B1所成角，
∵長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，AA1=4，
∴BC1=
4+16
=2
5
，BD1=
4+4+16
=2
6
，
∴cos∠D1BC1=
BC1
BD1
=
2
5
2
6
=
30
6
．
∴BD1與平面BCC1B1所成角的余弦值為
30
6
．
（2）連結(jié)AC，BD，交于O，連結(jié)OD1，
則∠DOD1是二面角D1-AC-D的平面角，
∵DD1=4，OD=
2
，
∴tan∠DOD1=
DD1
DO
=
4
2
=2
2
．
∴二面角D1-AC-D的正切值為2
2
．
（3）該長方體的外接球半徑R=
1
2
4+4+16
=
6
，
∴該長方體的外接球的表面積S=4π×(
6
)2=24π．
點評：本題考查二面角的余弦值和正切值的求法，考查長方體的外接球的表面積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=1+
1
x
．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：
xx1
1
3
x2
7
3
x3
ωx+φ0
π
2
π
3π
2
2π
Asin（ωx+φ）0
3
0-
3
0
（Ⅰ）請求出上表中的x1，x2，x3，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移
2
3
個單位得到函數(shù)g（x），若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4）上的值域為[-
3
，
3
]，且此時其圖象的最高點和最低點分別為P、Q，求
OQ
與
QP
夾角θ的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有一批某家用電器原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售．甲商場用如下方法促銷：買一臺單價800元，買兩臺每臺單價780元，以此類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低不能低于460元；乙商場一律打八折．某單位購買一批此類電器，問去哪家商場購買花費較少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x2+y2=1}．
（1）當(dāng)a為何值時，（A∩C）∪（B∩C）為含有兩個元素的集合．
（2）當(dāng)a為何值時，（A∪B）∩C為含有三個元素的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2014年，某市要全部實行居民社保一卡通，為了加快辦理進程，某社保服務(wù)站開設(shè)四類業(yè)務(wù)，假設(shè)居民辦理各類業(yè)務(wù)所需的時間相互獨立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計以往100位居民辦理業(yè)務(wù)所需的時間t（分鐘），如下表
類別A類B類C類D類
居民數(shù)（人）10304020
時間t（分鐘/人）2346
注：服務(wù)站工作人員在辦理兩項業(yè)務(wù)時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率．
（Ⅰ）求服務(wù)站工作人員恰好在第6分鐘開始辦理第三位居民的業(yè)務(wù)的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的居民人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在下面表格中的n行n列空格內(nèi)，第1行均已填上1，第1列依次填入首項為1，公比為q的等比數(shù)列的前n項，其他各空格均按照“任意一格內(nèi)的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左面一格數(shù)之和”的規(guī)則填寫．
第1列第2列第3列…第n列
第1行111…1
第2行q
第3行q2
……
第n行qn-1
（Ⅰ）設(shè)第2行的數(shù)依次為a1，a2，a3，…，an，試用n，q，表示a1+a2+a3+a4+…+an的值；
（Ⅱ）是否存在著q，使得除第1列外，還有不同的兩列數(shù)的前三項各自依次成等比數(shù)列？若存在，請求出q的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)第3列的數(shù)依次為b1，b2，b3，…，bn，對于任意非零實數(shù)q，求證：b1+b3＞2b2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tan（π-α）=-
1
2
，則cos2α=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三菱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，BC=1，則三梭錐A-BCD的體積為
 
．

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同步練習(xí)冊答案