Question

5．已知cosα+sinβ=1，其中0≤β≤45°，求sin（α-β）的最大值．

Answer 1

分析 由題意設(shè)x=cosα∈[0，1]，y=sinβ∈[0，1]，利用平方關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)sin（α-β），利用基本不等式求出sin（α-β）的最大值．

解答 解：由題意設(shè)x=cosα∈[0，1]，y=sinβ∈[0，1]，
因?yàn)閏osα+sinβ=1，其中0≤β≤45°，則x+y=1，
所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=$\sqrt{1-{x}^{2}}$•$\sqrt{1-{y}^{2}}$-xy（利用$ab≤\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$）
≤$\frac{1-{x}^{2}+1{-y}^{2}}{2}$-xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
=$\frac{2-（{x}^{2}+{y}^{2}）-2xy}{2}$=$\frac{2-（{x+y）}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則sin（α-β）的最大值為$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)“$α=\frac{π}{3}$、$β=\frac{π}{6}$”時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平方關(guān)系、兩角差的正弦函數(shù)，以及基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題．