Question

16．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$（x∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性與奇偶性．
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性與奇偶性．
（2）將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用參數(shù)分類法即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（-x）=${2}^{-x}-\frac{1}{{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^-x=-（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，
∵y=$\frac{1}{{2}^{x}}$為增函數(shù)，且y＞0，
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}}$為減函數(shù)，則y=-$\frac{1}{{2}^{x}}$為增函數(shù)，
則f（x）的單調(diào)遞增．
（2）若2^xf（2x）+mf（x）≥0對(duì)任意的x∈[0，+∞）恒成立，
則2^x（2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$）+m（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥0，
∴2^x（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）+m（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥0，
∵x∈[0，+∞），
∴2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$＞0，
∴不等式等價(jià)為2^x（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）+m≥0，
即m≥-2^x（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）=-（4^x+1）恒成立，
當(dāng)x≥0時(shí)，4^x+1≥1+1=2，則-（4^x+1）≤-2
∴m≥-2，
因此m的取值范圍為[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，利用參數(shù)分離法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．