Question

1．如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O為圓心，$\frac{1}{2}$OA為半徑作圓．
（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設K為AB中點，連結OK．根據等腰三角形AOB的性質知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，則AB是圓O的切線．
（Ⅱ）設圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結論．

解答 證明：（Ⅰ）設K為AB中點，連結OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，
∴直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）因為OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設T是A，B，C，D四點所在圓的圓心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT為AB的中垂線，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT為CD的中垂線，
∴AB∥CD．

點評 本題考查了切線的判定，考查四點共圓，考查學生分析解決問題的能力．解答此題時，充分利用了等腰三角形“三合一”的性質．