Question

16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π-（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a²+b²-2ab•$\frac{1}{2}$，
∴（a+b）²-3ab=7，
∵S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=6，
∴（a+b）²-18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周長(zhǎng)為5+$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．