Question

【題目】（題文）已知拋物線和圓的公共弦過拋物線的焦點，且弦長為4.

(1)求拋物線和圓的方程；

(2)過點的直線與拋物線相交于兩點拋物線在點處的切線與軸的交點為，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，求得的值，得到拋物線的方程，進(jìn)而求得圓的方程.

（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，求的及，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，得到，利用點到直線的距離公式，求的距離，表示出面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論.

試題解析：

（1）由題意可知，，所以，故拋物線的方程為.

又，所以， 所以圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為：，并設(shè)，

聯(lián)立，消可得，.

所以；

.

，所以過點的切線的斜率為，切線為，

令，可得，， 所以點到直線的距離，

故，分

又，代入上式并整理可得：

，令，可得為偶函數(shù)，

當(dāng)時，，

，令，可得，

當(dāng)，，當(dāng)，，

所以時，取得最小值，故的最小值為.