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【題目】為建設美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數模型．園區(qū)服務中心P在x軸正半軸上，PO＝百米．

（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；

（2）若在線段DE上設置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道直線段PQ最短．

【答案】(1) 的最小值為百米．

(2) 當點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．

【解析】

（1）設，，求出 ，再利用基本不等式求OM的最短長度.(2) 當直線與邊界曲線相切時，最短．設切點為，求出切點為，切線方程為，令，得，即點在線段上且距離軸百米．

（1）設，，

則 ，

當且僅當，即時取等號．

所以的最小值為百米．

（2）當直線與邊界曲線相切時，最短．

設切點為，由得，

所以切線的方程為．

因為在軸正半軸上，且PO=，所以點坐標為．

因為切線過點，所以，

整理得，解得，或．

因為，所以，此時切點為，切線方程為．

令，得，即點在線段上且距離軸百米．

答：當點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，已知曲線的參數方程為 為參數以原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出它是何種曲線；

（Ⅱ）設與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試在每一次報名中，每個學員有次參加科目二考試的機會（這次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試，或次都沒有通過，則需要重新報名），其中前次參加科目二考試免費，若前次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交元的補考費．某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為．現有一對夫妻同時報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

（2）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產生的補考費用之和為元的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（題文）已知拋物線和圓的公共弦過拋物線的焦點，且弦長為4.

(1)求拋物線和圓的方程；

(2)過點的直線與拋物線相交于兩點拋物線在點處的切線與軸的交點為，求面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊

的中點，AC，DE交于點O，，且PO⊥平面ABCD.

（1）求證：PD⊥BC；

（2）在線段AP上找一點F，使得BF∥平面PDE，并求此時四面體PDEF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經過點P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內一點E(1，0)，過點E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，交直線l于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設數列的前項和，對任意，都有（為常數）．

（1）當時，求；

（2）當時，

（�。┣笞C：數列是等差數列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，求數列的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC2，AB⊥AC，M是棱BC的中點點P在線段A1B上．

（1）若P是線段A1B的中點，求直線MP與直線AC所成角的大�。�

（2）若是的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求線段BP的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形，，四邊形為直角梯形，且，，點為的重心，為中點，平面，為線段上靠近點的三等分點．

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值．

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