【題目】某奧運會主體育場的簡化鋼結構俯視圖如圖所示,內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓,我們稱這兩個橢圓相似。
(1)已知橢圓,寫出與橢圓相似且焦點在軸上、短半軸長為的橢圓的標準方程;若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱,求實數的取值范圍;
(2)從外層橢圓頂點A、B向內層橢圓引切線AC、BD,設內層橢圓方程為+=1 (ab0),AC與BD的斜率之積為-,求橢圓的離心率。
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:
(1)由兩點、關于直線對稱可設出直線的方程為,將此方程與橢圓方程聯(lián)立消去y可得,由題意此方程有兩個不等實根,再根據的中點在直線上可消去t,根據判別式可得的范圍;
(2)設外層的橢圓的方程為,切線的方程為,由直線與橢圓相切根據判別式為零可得,同理切線BD的斜率,故,結合條件可得,根據此結論可求得。
試題解析:
(1)橢圓的方程為:
設直線的方程為,
由消去y整理得
設點, 中點為,
則
所以
因為中點在直線上,
所以,
解得
所以直線的方程為,
由題意可知,直線與橢圓有兩個不同的交點,
即方程有兩個不同的實數解,
所以,
解得或(舍去)。
所以實數的取值范圍為。
(2)設外層的橢圓的方程為,
設切線的方程為,
由消去y整理得
∵直線與橢圓相切,
∴,
整理得,
同理
∴,∴,
由題意得
∴,∴。
即橢圓的離心率為。
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【題目】判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題,并判斷其真假.
(1)對數函數都是單調函數;
(2)至少有一個整數,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)x∈{x|x>0}, ;
(4)x0∈Z,log2x0>2.
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【題目】某鋼廠打算租用, 兩種型號的火車車皮運輸900噸鋼材, , 兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸,租金分別為1.6萬元/個和2.4萬元/個,鋼廠要求租車皮總數不超過21個,且型車皮不多于型車皮7個,分別用, 表示租用, 兩種車皮的個數.
(Ⅰ)用, 列出滿足條件的數學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(Ⅱ)分別租用, 兩種車皮的個數是多少時,才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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【題目】如圖,已知長方形中, , 為的中點,將沿折起,使得平面平面,設點是線段上的一動點(不與, 重合).
(Ⅰ)當時,求三棱錐的體積;
(Ⅱ)求證: 不可能與垂直.
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【題目】已知關于x的一元二次函數,分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到數對。
(1)若,,求函數在內是偶函數的概率;
(2)若,,求函數有零點的概率;
(3)若,,求函數在區(qū)間上是增函數的概率。
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