Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且AB=4，PA=3，點A在PD上的射影為G點，E點在AB邊上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求BE的長；
（Ⅲ）求直線AG與平面PCA所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）作EF⊥PC于F得到EF∥AG，利用線面平行得判定定理可證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD，容易判斷四邊形AEFG為平行四邊形，利用平行線分線段成比例可求BE；
（Ⅲ））∵EF∥AG，所以AG與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角，過E作EO⊥AC于O點，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，得到∠EFO即為EF與平面PAC所成的角，然后計算求之．

解答： （Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（2分）
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE=GF       …（4分）
∵PA=3，AB=4∴PD=5，AG=

12

5

，
又PA²=PG•PD∴PG=

9

5

                      …（5分）
又

GF

CD

=

PG

PD

∴GF=

36

25

∴AE=

36

25

，
故BE=

64

25

  …（7分）
（3）∵EF∥AG，所以AG與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角，過E作EO⊥AC于O點，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，
∴OF是EF在平面PAC內(nèi)的射影
∴∠EFO即為EF與平面PAC所成的角                                    …（9分）
EO=AEsin45°=

36

25

×

2

2

=

18 2

25

，又EF=AG=

12

5

，
∴sin∠EFO=

EO

EF

=

18 2

25

×

5

12

=

3 2

10

   故cos∠EFO=

1-sin2∠EFO

=

82

10

所以AG與平面PAC所成角的余弦值等于

82

10

…（12分）

點評：本題考查了線面平行得判定定理和性質(zhì)定理得運用以及線面角得求法，關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為線線問題解答，屬于經(jīng)常考查得題型．