Question

【題目】已知A（﹣1，0），B（1，0）， = + ，| |+| |=4
（1）求P的軌跡E
（2）過(guò)軌跡E上任意一點(diǎn)P作圓O：x2+y2=3的切線(xiàn)l1 ， l2 ， 設(shè)直線(xiàn)OP，l1 ， l2的斜率分別是k0 ， k1 ， k2 ， 試問(wèn)在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下， （ + ）是否是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖因?yàn)? = + ，所以四邊形ACPB是平行四邊形，

所以| |=| |，

由| |+| |=4，得，| |+| |=4，

所以P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，a=2，c=1，b= ，

所以方程為 =1

（2）解：設(shè)P（x0，y0），過(guò)P的斜率為k的直線(xiàn)為y﹣y0=k（x﹣x0），

由直線(xiàn)與圓O相切可得 = ，即： ，

由已知可知k1，k2是方程 的兩個(gè)根，

所以由韋達(dá)定理：k1+k2= ，k1k2= ，

兩式相除： + = ，

又因?yàn)? =﹣ ，

代入上式可得， （ + ）=﹣ 為一個(gè)定值

【解析】（1）利用| |=| |，由| |+| |=4，得，| |+| |=4，即可求P的軌跡E；（2）所以由韋達(dá)定理：k1+k2= ，k1k2= ，兩式相除： + = ，即可得出結(jié)論．