Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=4，a₂₀=-16．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最大值及相應(yīng)n的值；
（Ⅲ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由a_n≥0解得n≤12，即可得出．
（III）當(dāng)n≤12時(shí)，a_n≥0，可得|a_n|=a_n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T_n．當(dāng)n＞12時(shí)，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T_n．

解答： 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁₀=4，a₂₀=-16．∴

a1+9d=4 a1+19d=-16

，解得

a1=22 d=-2

．
∴a_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
（II）由a_n≥0解得n≤12，且a₁₂=0，因此前11項(xiàng)或12項(xiàng)的和最大．
（III）當(dāng)n≤12時(shí)，a_n≥0，
∴|a_n|=a_n，∴T_n=22n+

n(n-1)

2

×-2=-n²+23n．
當(dāng)n＞12時(shí)，T_n=S₁₂-a₁₃-a₁₄-…-a_n=2S₁₂-S_n=2×（-12²+23×12）-（-n²+23n）=n²-23n+264．
∴Tn=

-n2+23n，n≤12 n2-23n+264，n≥13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值的數(shù)列的求和，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．