Question

解關于x的不等式
（1）3-2x-x²≤0；
（2）x（x-1）²（x-2）≥0；
（3）x²-ax-2a²＜0；
（4）已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求不等式cx²-bx+a＞0的解集；
（5）已知x＜

3

2

，求函數(shù)y=2x+

1

2x-3

的最大值，并求出相應的x值．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）3-2x-x²≤0化為x²+2x-3≥0，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（2）x（x-1）²（x-2）≥0，當x=1時，滿足不等式；當x≠1時，化為x（x-2）≥0，解出即可；
（3）x²-ax-2a²＜0化為（x-2a）（x+a）＜0，對a分a＞0，a=0，a＜0討論即可解出；
（4）不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，可得2，3是ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且a＜0．利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可解出．
（5）由x＜

3

2

，可得3-2x＞0．變形為函數(shù)y=2x+

1

2x-3

=-(3-2x+

1

3-2x

)+3，利用基本不等式即可解出．

解答： 解：（1）3-2x-x²≤0化為x²+2x-3≥0，解得x≤-3或x≥1，其解集為{x|x≤-3或x≥1}；
（2）x（x-1）²（x-2）≥0，當x=1時，滿足不等式；當x≠1時，化為x（x-2）≥0，解得x≥2或x≤0．
綜上可得不等式的解集為{x|x≥2或x≤0，或x=1}．
（3）x²-ax-2a²＜0化為（x-2a）（x+a）＜0，當a＞0時，不等式的解集為{x|-a＜x＜2a}；
當a=0時，不等式的解集為∅；當a＜0時，不等式的解集為{x|2a＜x＜-a}．
（4）已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，∴2，3是ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且a＜0．
∴2+3=-

b

a

，2×3=

c

a

，即

b

a

=-5，

c

a

=6．
∴不等式cx²-bx+a＞0和

c

a

x2-

b

a

x+1＜0，即6x²+5x+1＜0，解得-

1

2

＜x＜-

1

3

．∴不等式的解集為
{x|-

1

2

＜x＜-

1

3

}．
（5）∵x＜

3

2

，∴3-2x＞0．
∴函數(shù)y=2x+

1

2x-3

=-(3-2x+

1

3-2x

)+3≤-2

(3-2x)• 1 3-2x

+3=1，當且僅當x=1時取等號．
∴函數(shù)y=2x+

1

2x-3

的最大值為1，此時x=1．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．