【題目】已知函數(shù)f1(x)=x2,f2(x)=alnx(其中a>0).
(1)求函數(shù)f(x)=f1(x)·f2(x)的極值;
(2)若函數(shù)g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在區(qū)間(,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)x>0時(shí),.(說明:e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
【答案】(1) 函數(shù)f(x)的極小值為,無極大值.
(2) .
(3)見解析.
【解析】分析:(1)求,求出方程
的解
,確定
兩側(cè)
的正負(fù),得極值;
(2)求出,確定出
在
上遞減,在
上遞增,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知
在
上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件,得出
的范圍;
(3)不等式可變形為,其中由(1)知
的最小值為
,下面只要求得
的最大值,證明此最大值
即可.
詳解: (1)∵f(x)=f1(x)·f2(x)=ax2·lnx,
∴f ′(x)=axlnx+ax=
ax(2lnx+1)(x>0,a>0),
由f ′(x)>0,得x>e-,由f ′(x)<0,得0<x<e-
,
故函數(shù)f(x)在(0,e-)上單調(diào)遞減,在(e-
,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的極小值為f(e-)=-
,無極大值.
(2)函數(shù)g(x)=x2-alnx+(a-1)x,
則g′(x)=x-+(a-1)=
=
,
令g′(x)=0,∵a>0,解得x=1,或x=-a(舍去),
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
函數(shù)g(x)在區(qū)間(,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),
只需即
∴
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,
).
(3)問題等價(jià)于x2lnx>-
.由(1)知f(x)=x2lnx的最小值為-
.
設(shè)h(x)=-
,h′(x)=-
,
易知h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減. 10分
∴h(x)max=h(2)=-
,∵-
-(
-
)=
-
-
=
=
>0,
∴f(x)min>h(x)max,∴x2lnx>-
,故當(dāng)x>0時(shí),lnx+
-
>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù),且函數(shù)
圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
.
(1)求的值;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移
個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)
的圖象,求
的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)
,
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)求證:當(dāng)且
時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2019·武漢六中]袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“武、漢、軍、運(yùn)”四個(gè)字,從中任取一個(gè)小球,有放回抽取,直到取到“軍”“運(yùn)”二字就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止的概率:利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用0,1,2,3代表“軍、運(yùn)、武、漢”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下16組隨機(jī)數(shù):
232 321 230 023 123 021 132 220
231 130 133 231 331 320 122 233
由此可以估計(jì),恰好第三次就停止的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2019·牡丹江一中]某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽取60名學(xué)生的成績(均為整數(shù)),其成績的頻率分布直方圖如圖所示,由此估計(jì)此次考試成績的中位數(shù),眾數(shù)和平均數(shù)分別是( )
A. 73.3,75,72 B. 73.3,80,73
C. 70,70,76 D. 70,75,75
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品,只評一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“或
作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說:“,
兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ ,g(x)=ax+b.
(1)若函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若直線g(x)=ax+b是函數(shù)f(x)=lnx﹣ 圖象的切線,求a+b的最小值;
(3)當(dāng)b=0時(shí),若f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),求證:x1x2>2e2 . (取e為2.8,取ln2為0.7,取 為1.4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),且x≥0時(shí)有
.
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不要證明);
(2)解不等式;
(3)求函數(shù)在[﹣m,m]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=3﹣ an , bn是an與an+1的等差中項(xiàng),則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為( )
A.4×3n
B.4×( )n
C. ×(
)n﹣1
D. ×(
)n
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