Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當a=-4 時，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=-4時，不等式f（x）＜0，即為x²-4x+3＜0，可得：（x-1）（x-3）＜0，解出即可得出．
（2）由不等式f（x）=x²+ax+3＞0的解集為R，可得：函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，與x軸無交點．從而一元二次方程f（x）=0無實數(shù)根，因此△＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）當a=-4時，不等式f（x）＜0，即為x²-4x+3＜0，可得：（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
即不等式f（x）＜0的解集為（1，3）．
（2）由不等式f（x）=x²+ax+3＞0的解集為R，可得：
函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，與x軸無交點；
從而一元二次方程f（x）=0無實數(shù)根，∴△=a²-4×3＜0，
解得：$-2\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$．
故所求實數(shù)a的取值范圍為（$-2\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了“三個二次”之間的關系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．