Question

7．設(shè)f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，x∈[0，+∞）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式得出f（x）的最小值；
（2）根據(jù)x和a的范圍判斷f′（x）的符號(hào)，得出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最小值．

解答 解：（1）a=4時(shí)，f（x）=x+$\frac{4}{x+1}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$-1≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$-1=3．
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=1時(shí)取等號(hào)．
∴f（x）的最小值為f（1）=3．
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-a}{（x+1）^{2}}$，
∵x∈[0，+∞），a∈（0，1），
∴（x+1）²-a＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（0）=a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值計(jì)算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．