Question

15．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）\;\;b=-2f（-2）\;\;c=ln2•f（ln2）$，則下列關(guān)于a，b，c的大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． c＞b＞a
• D． b＞c＞a

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，可得：當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0．即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，因此當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性得答案．

解答 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0．
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
因此當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴b=-2f（-2）=2f（2），
又c=ln2f（ln2），
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（2）＞g（ln2）＞g（$\frac{1}{2}$），
即b＞c＞a．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查了推理能力，是中檔題．