Question

7．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上異于A、B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DC垂直于圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．
（1）求證：DE⊥平面ACD；
（2）若AC=BC，求平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直得DC⊥BC，由圓周角性質(zhì)得AC⊥BC，從而BC⊥平面ACD，由此能證明DE⊥平面ACD．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，
又∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC
AC∩DC=C，AC，DC?面ACD，∴BC⊥平面ACD
又∵DC∥EB，DC=EB，∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD．…4分
（2）如圖，以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則$A（{2\sqrt{2}，0，0}），D（{0，0，1}），B（{0，2\sqrt{2}，0}），E（{0.2\sqrt{2}，1}）$
$\overrightarrow{AD}=（{-2\sqrt{2}，0，1}），\overrightarrow{DE}=（{0，2\sqrt{2}，0}）$，…6分
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x，y，z}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}=-2\sqrt{2}x+z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，2\sqrt{2}}）$…8分
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x，y，z}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BE}=z=0\end{array}\right.$，
令x=1得$\overrightarrow{n_2}=（{1，1，0}）$，…10分
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{3•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，
∴平面AED與平面ABE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．…12分．

點(diǎn)評 本題考查立體幾何中線面關(guān)系的判定和性質(zhì)，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用及二面角的計(jì)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．