Question

在某地區(qū)的足球比賽中，記甲、乙、丙、丁為同一小組的四支隊(duì)伍，比賽采用單循環(huán)制（每?jī)蓚�(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），并規(guī)定小組積分前兩名的隊(duì)出線，其中勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分．由于某些特殊原因，在經(jīng)過(guò)三場(chǎng)比賽后，目前的積分狀況如下：甲隊(duì)積7分，乙隊(duì)積1分，丙和丁隊(duì)各積0分．根據(jù)以往的比賽情況統(tǒng)計(jì)，乙隊(duì)勝或平丙隊(duì)的概率均為

1

4

，乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)的概率均為

1

3

，且四個(gè)隊(duì)之間比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在整個(gè)小組賽中，乙隊(duì)最后積4分的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量 X為整個(gè)小組比賽結(jié)束后乙隊(duì)的積分，求隨機(jī)變量 X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在目前的積分情況下，M同學(xué)認(rèn)為：乙隊(duì)至少積4分才能確保出線，N同學(xué)認(rèn)為：乙隊(duì)至少積5分才能確保出線．你認(rèn)為誰(shuí)的觀點(diǎn)對(duì)？或是兩者都不對(duì)？（直接寫結(jié)果，不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）設(shè)乙隊(duì)勝或平丙隊(duì)的事件分別A₁，A₂，A₃，乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)的事件分別B₁，B₂，B₃，則P（A₁）=P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

（i=1，2，3）．設(shè)乙隊(duì)最后積4分為事件C，則P（C）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）．
（II）隨機(jī)變量ξ的可能取值為：7，5，4，3，2，1．P（X=7）=P（A₁）P（B₁），P（X=5）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁），P（X=4）=

1

4

，P（X=3）=P（A₂）P（B₂），P（X=2）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂），P（X=1）=P（A₃）P（B₃）．
即可得到隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（III）N同學(xué)的觀點(diǎn)對(duì)，乙隊(duì)至少積5分才可以出線．當(dāng)乙隊(duì)積5分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)的可能積分為4，3，2，1，0．當(dāng)乙隊(duì)積4分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)的可能積分為6或4．即可判斷出．

解答： 解：（I）設(shè)乙隊(duì)勝或平丙隊(duì)的事件分別A₁，A₂，A₃，乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)的事件分別B₁，B₂，B₃，
則P（A₁）=P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

（i=1，2，3）．
設(shè)乙隊(duì)最后積4分為事件C，則P（C）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）=

1

4

×

1

3

+

1

2

×

1

3

=

1

4

．
（II）隨機(jī)變量ξ的可能取值為：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A₁）P（B₁）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，P（X=5）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=

1

4

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

1

6

，
P（X=4）=

1

4

，P（X=3）=P（A₂）P（B₂）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=2）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=

1

4

×

1

3

+

1

2

×

1

3

=

1

4

，P（X=1）=P（A₃）P（B₃）=

1

2

×

1

3

=

1

6

．
可得隨機(jī)變量X的分布列為：

X	7	5	4	3	2	1
P（X）	1 12	1 6	1 4	1 12	1 4	1 6

E（X）=7×

1

12

+5×

1

6

+4×

1

4

+3×

1

12

+2×

1

4

+1×

1

6

=

10

3

．
（III）N同學(xué)的觀點(diǎn)對(duì)，乙隊(duì)至少積5分才可以出線．當(dāng)乙隊(duì)積5分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)的可能積分為4，3，2，1，0．乙隊(duì)為小組第二，可以出線．當(dāng)乙隊(duì)積4分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)的可能積分為6或4，因此不能確保乙隊(duì)出線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式、互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．