Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx+1．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=mx²+4mx+3，當(dāng)a=1時，不等式f（x₁）≤g（x₂），x₁∈（0，1]，x₂∈（-∞，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令f′（x）在其定義域（0，+∞）上恒大于0即可；
（2）a=1時，f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，且存在最大值f（1）=0，
欲使符合條件的f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_min≥f（x）_max即可；
解此不等式，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx+1，x＞0，
∴f′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

；
又∵函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴2ax²-2x+1≥0，
∴a≥

1

x

-

1

2x2

；
設(shè)t=

1

x

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2+

1

2

，
當(dāng)x=1時，函數(shù)t取得最大值

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，+∞）；
（2）當(dāng)a=1時，由（1）知f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
且x∈（0，1]，f（x）的最大值為f（1）=1-2+0+1=0；
欲使符合條件的f（x₁）≤g（x₂）恒成立，
只需對任意的x∈（-∞，+∞），g（x）_min≥f（x）_max即可；
∵g（x）=mx²+4mx+3，
∴當(dāng)m=0時，g（x）=3＞0，滿足條件；
當(dāng)m≠0時，須

m＞0 4m•3-16m2 4m ≥0

，
解得0＜m≤

3

4

；
綜上，0≤m≤

3

4

，∴實數(shù)m的取值范圍是[0，

3

4

]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了不等式的恒成立問題，是綜合性題目．