Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+a（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，最大值為3．
（Ⅰ）求ω和常數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換，可求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，依題意，可得ω和常數(shù)a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+a
=

3

sin2ωx-cos2ωx+a-1
=2（

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx）+a-1
=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1，
∵f（x）的最小正周期為π，最大值為3，
∴

2π

2ω

=π，ω=1；a+1=3，a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：kπ-

π

6

≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，

π

3

+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+a-1是關(guān)鍵，考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值的應(yīng)用，屬于中檔題．