Question

19．解關于x的不等式：mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0．
（1）當不等式解集為（-1，2）時，求m的值；
（2）當m≥0時，求關于x的不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式和對應方程的關系，結(jié)合根與系數(shù)的關系，求出m的值；
（2）討論m=0以及m＞0時，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集是什么即可．

解答 解：（1）關于x的不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集為（-1，2）時，
$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{3m+1}{m}=-1+2}\\{\frac{2（m+1）}{m}=-1×2}\end{array}\right.$，
解得m=-$\frac{1}{2}$；
（2）當m≥0時，若m=0，則不等式化為-x+2＞0，
解得x＜-2，∴不等式的解集為{x|x＜-2}；
若m＞0，則不等式化為[mx-（m+1）]（x-2）＞0，
即（x-$\frac{m+1}{m}$）（x-2）＞0，
令$\frac{m+1}{m}$=2，解得m=1；
∴當0＜m＜1時，$\frac{m+1}{m}$＞2，
不等式的解集為{x|x＜2，或x＞$\frac{m+1}{m}$}；
當m=1時，$\frac{m+1}{m}$=2，
不等式的解集為{x|x≠2}；
當m＞1時，$\frac{m+1}{m}$＜2，
不等式的解集為{x|x＜$\frac{m+1}{m}$，或x＞2}；
綜上，m=0，不等式的解集為{x|x＜-2}；
0＜m＜1時，不等式的解集為{x|x＜2，或x＞$\frac{m+1}{m}$}；
m=1時，不等式的解集為{x|x≠2}；
m＞1時，不等式的解集為{x|x＜$\frac{m+1}{m}$，或x＞2}．

點評 本題考查了分類討論思想的應用問題，也考查了一元二次不等式與二次方程的應用問題，是基礎題目．