Question

7．下列命題：
①函數(shù)y=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)；
③設(shè)θ為第二象限角，則tanθ＞cos$\frac{θ}{2}$，且sin$\frac{θ}{2}$＞cos$\frac{θ}{2}$
④函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值為-1
其中真命題的序號是①④（（寫出所有正確命題的編號））

Answer 1

分析 依次分析命題：①根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；
②結(jié)合函數(shù)y=sin|x|的圖象可判斷；
③首先推知$\frac{θ}{2}$所在的象限，然后再來比較它們的大小；
④根據(jù)sinx∈[-1，1]、y=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答 解：①函數(shù)y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，k是奇數(shù)}\\{-sinx，k是偶數(shù)}\end{array}\right.$，為奇函數(shù)，成立；
②函數(shù)y=sin|x|得圖象如圖所示，由圖象可知函數(shù)不是周期函數(shù)，

故②不成立；
③∵θ是第二象限的角，即2kπ+$\frac{π}{2}$＜θ＜2kπ+π，k∈z，可得kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{θ}{2}$可能在第一或第三象限，
∴無法比較tanθ與cos$\frac{θ}{2}$，sin$\frac{θ}{2}$與cos$\frac{θ}{2}$的大小，故③不一定成立；
④函數(shù)y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，再根據(jù)sinx∈[-1，1]，
可得當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值為$\frac{5}{4}$，當(dāng)sinx=-1時，函數(shù)取得最小值為-1，
故④成立．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①④．
故答案是：①④．

點評 本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時要注意函數(shù)的連續(xù)性和極限的靈活運用．