Question

4．（Ⅰ）已知曲線C：y=xe^x+tanα在 x=$\frac{π}{4}$處的切線與直線ax-y+1=0互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P在曲線y=$\frac{4}{e^x+1}$上，角α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲求出實(shí)數(shù)a，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再由兩直線垂直的條件，從而可得a；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率，再根據(jù)斜率等于傾斜角的正切值求出角的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x，
∵曲線在x=$\frac{π}{4}$處的切線與直線ax-y+1=0互相垂直，
∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得：f′（$\frac{π}{4}$）=（1+$\frac{π}{4}$）•${e}^{\frac{π}{4}}$=-$\frac{1}{a}$
解得：a=-$\frac{1}{{e}^{\frac{π}{4}}•（1+\frac{π}{4}）}$；
（Ⅱ）解：因?yàn)閥=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$的導(dǎo)數(shù)為
y′=$\frac{-4{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，
∵e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴$\frac{3π}{4}$≤α＜π．
即α的取值范圍是[$\frac{3π}{4}$，π）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查垂直直線的斜率關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)．屬于基礎(chǔ)題．