17.在梯形ABCD中AB∥CD,AD=CD=CB=2,∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=2.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)求二面角B-EF-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AC⊥BC,由此能證明BC⊥平面ACFE.
(Ⅱ)取EF中點(diǎn)G,EB中點(diǎn)H,連結(jié)DG、GH、DH,推導(dǎo)出∠DGH是二面角B-EF-D的平面角,由此能求出二面角B-EF-D的平面角余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60°,
∴四邊形ABCD是等腰梯形,且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°,
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°,∴AC⊥BC,
又∵平面ACEF⊥平面ABCD,交線為AC,∴BC⊥平面ACFE.
解:(Ⅱ)取EF中點(diǎn)G,EB中點(diǎn)H,連結(jié)DG、GH、DH,
由題意得DE=DF,∴DG⊥EF,
∵BC⊥平面ACFE,∴BC⊥EF,
 又∵EF⊥FC,∴EF⊥FB,
又∵GH∥FB,∴EF⊥GH,
∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角.
在△BDE中,DE=2$\sqrt{2}$,DB=2$\sqrt{3}$,BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∴BE2=DE2+DB2,∴∠EDB=90°,∴DH=$\sqrt{5}$,
又DG=$\sqrt{5}$,GH=$\sqrt{2}$,∴在△DGH中,由余弦定理得cos∠DGH=$\frac{D{G}^{2}+G{H}^{2}-D{H}^{2}}{2DG•GH}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
即二面角B-EF-D的平面角余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間想象能力、推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.

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