9.如圖,一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā),繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處,若該小蟲爬行的最短路程為$4\sqrt{3}$,則這個(gè)圓錐的體積為( 。
A.$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$B.$\frac{{32\sqrt{35}π}}{27}$C.$\frac{{128\sqrt{2}π}}{81}$D.$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$

分析 作出該圓錐的側(cè)面展開圖,該小蟲爬行的最短路程為PP',由余弦定理求出∠P′OP=$\frac{2π}{3}$.求出底面圓的半徑r,從而求出這個(gè)圓錐的高,由此能求出這個(gè)圓錐的體積.

解答 解:作出該圓錐的側(cè)面展開圖,如圖所示:
該小蟲爬行的最短路程為PP′,由余弦定理可得cos∠P′OP=$\frac{O{P}^{2}+O{{P}^{'}}^{2}-P{{P}^{'}}^{2}}{2OP•O{P}^{'}}$=-$\frac{1}{2}$,
∴$∠{P}^{'}OP=\frac{2π}{3}$.設(shè)底面圓的半徑為r,
則有$2πr=\frac{2π}{3}$,解得r=$\frac{4}{3}$.
∴這個(gè)圓錐的高為h=$\sqrt{16-\frac{16}{9}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$,
這個(gè)圓錐的體積為V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×π{r}^{2}×h$=$\frac{1}{3}π×\frac{16}{9}×\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{128\sqrt{2}π}{81}$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的表面展開圖的應(yīng)用,最小值的求法,三角形的解法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.

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4.直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù))與曲線C:y2-x2=1交于A,B兩點(diǎn).
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(2)求AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).

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1.設(shè)p:函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-a{x^2}+2x+1$ 在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)增函數(shù),設(shè)q:方程(2a2-3a-2)x2+y2=1表示雙曲線,“p 且q”為真命題,則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為$({-\frac{1}{2},\sqrt{2}}]$.

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18.函數(shù)y=$\frac{1}{2x-1}$的定義域?yàn)閧x|x≠$\frac{1}{2}$}.

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19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a(x-b)}{(x-b)^{2}+c}$(a≠0,b∈R,c>0),g(x)=m[f(x)]2-n(mn>0),給出下列四個(gè)命題:
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