Question

17．將一張紙沿直線l對(duì)折一次后，點(diǎn)A（0，4）與點(diǎn)B（8，0）重疊，點(diǎn)C（6，8）與點(diǎn)D（m，n）重疊．
（1）求直線l的方程；
（2）求m+n的值；
（3）直線l上是否存在一點(diǎn)P，使得||PB|-|PC||存在最大值，如果存在，請(qǐng)求出最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N（4，2），且$\overrightarrow{AB}=（{8，-4}）$，即可求出直線l的方程；
（2）求出直線CD的方程，可得直線CD與直線l的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求m+n的值；
（3）假設(shè)直線l上存在點(diǎn)P，利用||PB|-|PC||=||PA|-|PC||≥|AC|，得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N（4，2），且$\overrightarrow{AB}=（{8，-4}）$…（2分）
則直線l的方程為2x-y-6=0…（5分）
（2）設(shè)直線CD的方程為x+2y+C'=0…（6分）
∵C（6，8）在直線CD上，∴C'=-22，則直線CD的方程為x+2y-22=0…（7分）
設(shè)直線CD與直線l的交點(diǎn)為M，$\left\{\begin{array}{l}2x-y-6=0\\ x+2y-22=0\end{array}\right.$$⇒M（{\frac{34}{5}，\frac{38}{5}}）$…（9分）
則$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{38}{5}\\ n=\frac{36}{5}\end{array}\right.$，∴$m+n=\frac{74}{5}$…（11分）
（3）假設(shè)直線l上存在點(diǎn)P，
∵||PB|-|PC||=||PA|-|PC||≥|AC|…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立…（13分）
直線AC的方程為2x-3y+12=0…（14分）
∴P（7.5，9），最大值為2$\sqrt{13}$…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．