Question

20．如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ
（Ⅰ）求角β的大小
（Ⅱ）求四邊形ABCD周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）條件化為$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，即可求角β的大小
（Ⅱ）求出CB+CD$≤2\sqrt{7}$，即可求四邊形ABCD周長的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$BDcosα+CDsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin∠BDC=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
∴$\sqrt{3}$sin（α+β）=$\sqrt{3}$sinβcosα+sinαsinβ，
化簡可得tanβ=$\sqrt{3}$，∴β=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由題意，$∠BAD=\frac{2π}{3}$，BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
∵BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosβ=（CB+CD）²-3CB•CD≥$\frac{（CB+CD）^{2}}{4}$，
∴CB+CD$≤2\sqrt{7}$，
∵$CB+CD＞\sqrt{7}$，
∴四邊形ABCD周長的取值范圍（3+$\sqrt{7}$，3+2$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查三角函數的化簡，考查余弦定理的運用，屬于中檔題．