Question

4．（A類題）設f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，其中e為自然底數(shù)．
（Ⅰ）若f（m）=2，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（Ⅲ）判斷f（x）的反函數(shù)f^-1（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）令f（m）=2列出方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解出；
（2）將函數(shù)式子變形，用y表示出x，然后互換變量的符號得出反函數(shù)；
（3）先判斷反函數(shù)的定義域，再計算f^-1（-x）+f^-1（x）．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$=2得：e^2m-4e^m-1=0，解得e^m=2+$\sqrt{5}$或e^m=2-$\sqrt{5}$（舍）．
∴m=ln（2+$\sqrt{5}$）．
（Ⅱ）由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$得：e^2x-2ye^x-1=0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，∴x=ln（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）．
∴f^-1（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x∈R）．
（Ⅲ）f^-1（-x）+f^-1（x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln1=0．
∴f^-1（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)值的計算，反函數(shù)的求法，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎題．