Question

7．已知函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}-3，-1＜x≤0\\{x^2}-3x+2，0＜x≤1\end{array}$，若方程g（x）-mx-m=0有且僅有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$m∈（-\frac{9}{4}，-2]∪[0，2）$．

Answer 1

分析 g（x）-mx-m=0可化為g（x）=m（x+1），從而化為函數(shù)y=g（x）與y=m（x+1）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；再討論以確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由g（x）-mx-m=0得g（x）=m（x+1），
原方程有兩個(gè)相異的實(shí)根等價(jià)于兩函數(shù)y=g（x）與y=m（x+1）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
當(dāng)m＞0時(shí)，易知臨界位置為y=m（x+1）過點(diǎn)（0，2）和（1，0），
分別求出這兩個(gè)位置的斜率k₁=2和k₂=0，
由圖可知此時(shí)m∈[0，2）；
當(dāng)m＜0時(shí)，設(shè)過點(diǎn)（-1，0）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+1}$-3，x∈（-1，0]的圖象作切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}+1}-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{1}{3}}\\{{y}_{0}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
得切線的斜率為k₁=-$\frac{9}{4}$，而過點(diǎn)（-1，0），（0，-2）的斜率為k₁=-2，
故可知m∈（-$\frac{9}{4}$，-2]，
則m∈（-$\frac{9}{4}$，-2]∪[0，2）．
故答案為：$m∈（-\frac{9}{4}，-2]∪[0，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．