Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx²-（m²+1）x+m（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=-2代入已知不等式，通過(guò)解一元二次不等式2x²-5x+2≤0可以得到f（x）≤0的解集；
（Ⅱ）需要分類討論：由題意得到不等式mx²-（m²+1）x+m＞0的解集，對(duì)該不等式整理得到：（x-m）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，分m＞0，0＜m＜1，m＞1三種情況來(lái)解答．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，不等式f（x）≤0可化為2x²-5x+2≤0，
即（2x-1）（x-2）≤0，解得$\frac{1}{2}$≤x≤2，
所以不等式f（x）≤0的解集為{x|$\frac{1}{2}$≤x≤2}．
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，不等式可化為mx²-（m²+1）x+m＞0，即x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＞0，
則（x-m）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，$\frac{1}{m}$＞1，則不等式的解集為{x|x＜m，或x＞$\frac{1}{m}$}；
當(dāng)m=1時(shí)，不等式化為（x-1）⑦＞0，此時(shí)不等式解集為{x|x≠1}；
當(dāng)m＞1時(shí)，0＜$\frac{1}{m}$＜1，則不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{m}$或x＞m}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法． 一元二次不等式解法與求一元二次方程的根相似，大體上有十字相乘法，配方法，萬(wàn)能公式法．本題采用了十字相乘法．