Question

如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H為PC的中點,M為AH的中點,PA=AC=2,BC=1.

(1)求證:AH⊥平面PBC;

(2)求PM與平面AHB成角的正弦值;

(3)設點N在線段PB上,且=λ,MN∥平面ABC,求實數(shù)λ的值.

Answer 1

 (1)證明:因為PA⊥底面ABC,BD⊂底面ABC,

所以PA⊥BC,

又因為AC⊥BC,PA∩AC=A,

所以BC⊥平面PAC,

又因為AH⊂平面PAC,

所以BC⊥AH.

因為PA=AC,H是PC中點,

所以AH⊥PC,

又因為PC∩BC=C,

所以AH⊥平面PBC.

(2)解:在平面ABC中,過點A作AD∥BC,

因為BC⊥平面PAC,

所以AD⊥平面PAC,

又PA⊥底面ABC,得PA,AC,AD兩兩垂直,

所以以A為原點,AD,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系

則A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,,).

設平面AHB的法向量為n=(x,y,z),

=(0,1,1),=(1,2,0),

由

得

令z=1,得n=(2,-1,1).

設PM與平面AHB所成角為θ,

因為=(0,,-),

所以sin θ=|cos<,n>|

=||

=||

即sin θ=.

(3)解:因為=(1,2,-2),=λ,

所以=(λ,2λ,-2λ),

又因為=(0,,-),

所以=-

=(λ,2λ-,-2λ).

因為MN∥平面ABC,平面ABC的一個法向量=(0,0,2),

所以·=3-4λ=0,

解得λ=.