Question

6．已知函數(shù)f（x）在定義域R上滿足f（-x）-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=-x²+2x；當x∈（2，+∞）時，f（x）=2x-4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x≥0解關(guān)于x的不等式f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

分析 （1）由題意：定義域R上滿足f（-x）=-f（x），可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)當x∈[0，2]時，f（x）=-x²+2x；當x∈（2，+∞）時，f（x）=2x-4．即可求f（x）的在定義域R上解析式
（2）根據(jù)（1）的解析式定義域范圍，當x≥0時，討論，再解關(guān)于x的不等式f（x+1）＞f（x）即可．

解答 解：（1）由題意：定義域R上滿足f（-x）=-f（x），可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
當x∈[0，2]時，即0≤x≤2時，f（x）=-x²+2x；
那么：-2≤x≤0時，則0≤-x≤2，f（-x）=-x^2-2x=-f（x），
∴f（x）=x²+2x；
當x∈（2，+∞）時，即：x＞2時，f（x）=2x-4．
那么：x＜-2時，則-x＞2，f（-x）=-2x-4=-f（x），
∴f（x）=2x+4；
故得f（x）的在定義域R上解析式為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2x，（0≤x≤2）}\\{{x}^{2}+2x，（-2≤x＜0）}\\{2x+4，（x＜-2）}\end{array}\right.$
（2）∵x≥0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2x，（0≤x≤2）}\end{array}\right.$
當x＞2時，不等式f（x+1）＞f（x）等價于：x+1＞x，
解得：x＞2，
當0≤x≤x+1≤2時，不等式f（x+1）＞f（x）等價于：-（x+1）²+2（x+1）＞-x²+2x，
解得：$0≤x＜\frac{1}{2}$，
當0≤x≤2≤x+1時，不等式f（x+1）＞f（x）等價于：2（x+1）-4＞-x²+2x，
解得：$\sqrt{2}＜x≤2$，
綜上所得：當x≥0時，不等式f（x+1）＞f（x）的解集為：[0，$\frac{1}{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的解析式的求法，分段函數(shù)在不等式中的討論的運用．屬于中檔題．