Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，點E在CC₁上，且C₁E=3EC．
（Ⅰ）證明：A₁C⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直線A₁D與平面BDE所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證A₁C⊥平面BED，只需證明A₁C與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面BDE的法向量，求二者的數(shù)量積可求直線A₁D與平面BDE所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：依題設知CE=1．連接AC交BD于點F，則BD⊥AC．
由三垂線定理知，BD⊥A₁C．
在平面A₁CA內，連接EF交A₁C于點G，
由于

AA1

FC

=

AC

CE

=2

2

，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE與∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C與平面BED內兩條相交直線BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED；
以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，
（Ⅱ）解：建立如圖所示直角坐標系D-xyz
依題設，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
∴

DE

=（0，2，1），

DB

=（2，2，0），

A1D

=（2，0，4），
設平面BDE的法向量為

m

=（x，y，z），則

2y+z=0 2x+2y=0

，
∴x=1，y=-1，z=2，
∴

m

=（1，-1，2）
設直線A₁D與平面BDE所成的角為α，則sinα=

2+8

4+16 • 1+1+4

=

30

6

，
∴cosα=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，線面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．