Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一條漸近線上的一點，F是雙曲線的右焦點，若|PF|的最小值為

1

2

a，求雙曲線的離心率．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，|PF|的最小值為F到雙曲線的漸近線的距離，利用點到直線的距離公式，結合|PF|的最小值為

1

2

a，可得a，b的關系，即可求雙曲線的離心率．

解答： 解：由題意，|PF|的最小值為F到雙曲線的漸近線的距離，
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）一條漸近線方程為bx-ay=0，F（c，0），
∴F到雙曲線的漸近線的距離為

bc

b2+a2

=b，
∵|PF|的最小值為

1

2

a，
∴b=

1

2

a，
∴c=

a2+b2

=

5

2

a，
∴e=

c

a

=

5

2

．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查點到直線的距離公式，確定|PF|的最小值為F到雙曲線的漸近線的距離是關鍵．