Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）探究直線y=kx-1與曲線y=f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）直線y=kx-1與曲線y=f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程kx-1=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的解的個(gè)數(shù)，即有k-2=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，令g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，對(duì)k討論，k=2，k＞2，k＜2，即可得到所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
可得f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，0）；
減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）直線y=kx-1與曲線y=f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為：
方程kx-1=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的解的個(gè)數(shù)，
即有k-2=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
由g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{4}}$＜0，
可得g（x）在（-∞，0），（0，+∞）均為遞減函數(shù)，
當(dāng)x＞0，g（x）＞0，g（x）遞減；當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0，g（x）遞減．
即有當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)，方程無(wú)解，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)k-2＞0或k-2＜0，即k＞2或k＜2，方程有一解，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想方法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．