Question

1．?dāng)?shù){a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}}$=$\frac{4028}{2015}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n+n+1，利用累加可得a_n-a₁=2+3+4+5+…+n，從而求得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而求和．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
a₄-a₃=4，
…
a_n-a_n-1=n，
累加可得，
a_n-a₁=2+3+4+5+…+n，
即a_n=1+2+3+4+5+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2014}}$
=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）
=2（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{4028}{2015}$，
故答案為：$\frac{4028}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了累加法與裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，同時(shí)考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用．