Question

11．過函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角的范圍為（　�。�

• A． $[0，\frac{3π}{4}]$
• B． $[0，\frac{π}{2}）∪[\frac{3π}{4}，π）$
• C． $[\frac{3π}{4}，π）$
• D． $（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的值域得到切線傾斜角正切值的范圍，則傾斜角的范圍可求．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$，得f′（x）=x²-2x，
設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$圖象上任一點(diǎn)P（x₀，y₀），且過該點(diǎn)的切線的傾斜角為α（0≤α＜π），
則f′（x）=x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
∴tanα≥-1，
∴0≤α＜$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{4}$≤α＜π．
∴過函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，切線傾斜角的范圍為[0，$\frac{π}{2}$）∪[$\frac{3π}{4}$，π）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線傾斜角和斜率的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握正切函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．