Question

16．關(guān)于x的不等式（ax+1）（1+x）＜0成立的一個(gè)充分而不必要條件是-2＜x＜-1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 依題意，分類討論，解不等式（ax+1）（x+1）＜0得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間包含關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得不等式，解可得答案．

解答 解：不等式（ax+1）（1+x）＜0成立的一個(gè)充分而不必要條件是-2＜x＜-1，
當(dāng)a=0時(shí)，不等式為x＜-1，滿足，
當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為空集，不滿足一個(gè)充分而不必要條件是-2＜x＜-1，
因?yàn)榉匠蹋╝x+1）（1+x）=0的兩個(gè)根為x=-$\frac{1}{a}$或a=-1，
若一個(gè)充分而不必要條件是-2＜x＜-1，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{1}{a}＜-2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$
綜上所述a的取值范圍為[0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：[0，$\frac{1}{2}$），

點(diǎn)評(píng) 本題考查充分、必要條件的判斷及運(yùn)用，注意與集合間關(guān)系的對(duì)應(yīng)即可，需要分類討論，屬于中檔題．