Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式$f（x）≥{x^2}-\frac{2a}{e}•{e^x}+{a^2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f′（x）的符號(hào)，得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-x²+$\frac{2a}{e}•{e}^{x}$-a²=-2alnx+$\frac{2a}{e}•{e}^{x}-{a}^{2}$，則g_min（x）≥0，對(duì)a進(jìn)行討論判斷g（x）的單調(diào)性得出g（x）的最小值，列出不等式解出a．

解答 解：（1）f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2a}{x}$（x＞0）．
若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，令f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$（舍）．
令f′（x）＜0得0$＜x＜\sqrt{a}$．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\sqrt{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{a}$）．
（2）令g（x）=f（x）-x²+$\frac{2a}{e}•{e}^{x}$-a²=-2alnx+$\frac{2a}{e}•{e}^{x}-{a}^{2}$，
∵不等式$f（x）≥{x^2}-\frac{2a}{e}•{e^x}+{a^2}$恒成立，∴g_min（x）≥0．
g′（x）=-$\frac{2a}{x}$+$\frac{2a}{e}•{e}^{x}$=2a（e^x-1-$\frac{1}{x}$）．
①若a=0，則g（x）=0，顯然符合題意．
②若a≠0，令g′（x）=0得e^x-1-$\frac{1}{x}$=0，解得x=1．
（i）若a＞0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g_min（x）=g（1）=2a-a²≥0，解得0＜a≤2．
（ii）若a＜0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g_max（x）=g（1）=2a-a²=-（a-1）²+1，
∵a＜0，∴-（a-1）²+1＜0，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．