Question

【題目】設(shè)集合.如果對于的每一個(gè)含有個(gè)元素的子集， 中必有4個(gè)元素的和等于，稱正整數(shù)為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；

（Ⅱ）若為集合的“相關(guān)數(shù)”，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數(shù).求集合的“相關(guān)數(shù)” 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不是, 是（2）見解析(3)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得及，對于個(gè)元素的子集可以舉出反例可證含有個(gè)元素的子集只有，滿足題意；（Ⅱ）首先考察集合的含有個(gè)元素的子集，證明當(dāng)時(shí)， 一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”，可得結(jié)果；（Ⅲ）先將集合的元素分成如下組： ，再將集合的元素剔除和后，分成如下組： ，可得兩者中同屬對于的一個(gè)含有個(gè)元素的子集中至少一組無相同元素，可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ．①對于的含有個(gè)元素的子集，因?yàn)?/span>，所以不是集合的“相關(guān)數(shù)”．

②的含有個(gè)元素的子集只有，因?yàn)?/span>，

所以是集合的“相關(guān)數(shù)”．

（Ⅱ）考察集合的含有個(gè)元素的子集．

中任意個(gè)元素之和一定不小于．

所以一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”．

所以當(dāng)時(shí)， 一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”．

因此若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有．

即若為集合的“相關(guān)數(shù)”，必有．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．先將集合的元素分成如下組：

．對的任意一個(gè)含有個(gè)元素的子集，必有三組同屬于集合．再將集合的元素剔除和后，分成如下組：

．對于的任意一個(gè)含有個(gè)元素的子集，必有一組屬于集合．這一組與上述三組中至少一組無相同元素，

不妨設(shè)與無相同元素．此時(shí)這個(gè)元素之和為．所以集合的“相關(guān)數(shù)”的最小值為．