Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），若$f（\frac{π}{12}）-f（-\frac{5π}{12}）=2$，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由條件可得$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，且-$\frac{5π}{6}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），若$f（\frac{π}{12}）-f（-\frac{5π}{12}）=2$，
則函數(shù)的周期為π，f（$\frac{π}{12}$）=sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，f（-$\frac{5π}{12}$）=sin（-$\frac{5π}{6}$+φ）=-1，
故$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，且-$\frac{5π}{6}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
故取φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$ ）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
故答案為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的值域、單調(diào)性，屬于中檔題．