Question

5．如圖，A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)，與其交于點(diǎn)C，若AB∥OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)AB的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得C（c，$\frac{^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），從而得到$\frac{a}=\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$，即b=c，由此能求出直線(xiàn)AB的斜率．

解答 解：∵A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)
過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)，與其交于點(diǎn)C，AB∥OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴C（c，$\frac{^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），
∴$\frac{a}=\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$，∴bc=b²，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2c²，
∴a=$\sqrt{2}c$=$\sqrt{2}b$，
∴直線(xiàn)AB的斜率k=$\frac{a}=\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．