Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K為線段BE上異于B，E的點，CE=2

2

．設(shè)直線AK與平面BDF所成角為φ，當(dāng)30°≤φ≤45°時，求BK的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用已知條件證明CE∥DF，通過直線與平面平行的判定定理證明CE∥平面ADF． 
（Ⅱ）說明BE⊥平面ABCD．以B為原點，

BC

、

BA

、

BE

的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面BDF的一個法向量．

AK

=（0，-2，m），利用sinφ=|

n • AK

| n || AK |

|=

|2+m|

3 • 4+m2

，利用φ的范圍，推出

1

2

≤sinφ≤

2

2

，推出{

1 2 ≤ |2+m| 3 • 4+m2 ， |2+m| 3 • 4+m2 ≤ 2 2 ，

，解得m的范圍，即BK的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明：正方形ABCD中，CD

∥

.

BA，正方形ABEF中，EF

∥

.

BA．…（2分）
∴EF

∥

.

CD，∴四邊形EFDC為平行四邊形，∴CE∥DF．…（3分）
又DF?平面ADF，CE?平面ADF，∴CE∥平面ADF． …（5分）
（Ⅱ）解：∵BE=BC=2，CE=2

2

，∴CE²=BC²+BE²．
∴△BCE為直角三角形，BE⊥BC，…（6分）
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD． …（7分）
以B為原點，

BC

、

BA

、

BE

的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），A（0，2，0），

BD

=（2，2，0），

BF

=（0，2，2）．
設(shè)K（0，0，m），平面BDF的一個法向量為

n

=（x，y，z）．
由

n

•

BD

=0，

n

•

BF

=0，得

2x+2y=0 2y+2z=0

可取

n

=（1，-1，1），…（9分）
又

AK

=（0，-2，m），于是sinφ=|

n • AK

| n || AK |

|=

|2+m|

3 • 4+m2

，
∵30°≤φ≤45°，∴

1

2

≤sinφ≤

2

2

，即{

1 2 ≤ |2+m| 3 • 4+m2 ， |2+m| 3 • 4+m2 ≤ 2 2 ，

…（11分）
結(jié)合0＜m＜2，解得0＜m≤4-2

3

，即BK的取值范圍為（0，4-

3

]．…（13分）

點評：本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．