Question

1．在△ABC中，角A、B、C分別是邊a、b、c的對(duì)角，且3a=2b，
（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；
（Ⅱ）若$b-c=\frac{1}{3}a$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大邊對(duì)大角可得A為銳角，可求cosA，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式即可求sinC的值．
（Ⅱ）設(shè)a=2t，b=3t，由已知可求$c=b-\frac{1}{3}a=\frac{7}{3}t$，利用余弦定理即可得解cosC的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB
又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∵a：b=2：3，∴A＜B，即$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
∴$sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$．…（7分）
（Ⅱ）設(shè)a=2t，b=3t，則$c=b-\frac{1}{3}a=\frac{7}{3}t$，
則$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{{（2t）}^2}+{{（3t）}^2}-{{（\frac{7}{3}t）}^2}}}{2×（2t）×（3t）}=\frac{17}{27}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．