Question

6．在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，AC=$\sqrt{2}$，BC=1，若將其沿AC折成直二面角D-AC-B，則AC與BD所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0得到AC⊥CB，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求出異面直線AC與BD所成角的余弦值

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，AC=$\sqrt{2}$，BC=1，如圖
∴AC⊥CB，
∴AC=CD=$\sqrt{3}$

過點(diǎn)A作AE⊥CD，
在Rt△CAD和Rt△AEC，sin∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{AE}{AC}$，
則AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在空間四邊形中，直二面角D-AC-B，
∵BC⊥AC，BC⊥CD，
∴BC⊥平面ACD，
以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以CD為y軸，CB為x軸，過點(diǎn)C與EA平行的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∴C（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，0，1），D（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{BD}$=2，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$=2，
設(shè)AC與BD所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查異面直線夾角求解，利用向量的方法，能降低了思維難度．注意一般地異面直線所成角與兩直線方向向量夾角相等或互補(bǔ)，余弦的絕對值相等．