Question

點(diǎn)P（3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)P點(diǎn)的方向向量為

a

=（-2，-5）的光線(xiàn)經(jīng)直線(xiàn)y=-2反射后通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則這個(gè)橢橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)y=-2反射后的直線(xiàn)過(guò)已知過(guò)點(diǎn)P（3，1）且方向?yàn)?span id="vvh7t6k" class="MathJye">

a

=（-2，-5）的直線(xiàn) 與y=-2的交點(diǎn)，反射后所在的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)即為橢圓的右焦點(diǎn)，從而可求c，再由右準(zhǔn)線(xiàn)方程，求得a，再由離心率公式，即可得到．

解答： 解：由題意可得過(guò)點(diǎn)P（3，1）的直線(xiàn)的方程為：y-1=

5

2

（x-3），
與y=-2的交點(diǎn)為（

9

5

，-2），
光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)y=-2反射后所在的直線(xiàn)方程為y+2=-

5

2

（x-

9

5

），
與x軸的交點(diǎn)（1，0）即為橢圓的右焦點(diǎn)，即c=1，
由于點(diǎn)P（3，1）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線(xiàn)上，
則

a2

c

=3，即a²=3c=3，則離心率為e=

c

a

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用對(duì)稱(chēng)性求解直線(xiàn)方程，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)反射關(guān)系過(guò)入射關(guān)系與y=-2的焦點(diǎn)，還要注意方向向量的概念的理解．