Question

甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，分別倒入對方容器攪勻，這稱為是一次調(diào)和，記a₁=10%，b₁=20%，經(jīng)（n-1）次調(diào)和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為a_n，b_n．
（1）試用a_n-1，b_n-1表示a_n和b_n；
（2）求證：數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列；
（3）求出{a_n}，{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）從甲（濃度：a_n-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶質(zhì)100a_n-1，剩下的400ml溶液中含溶質(zhì)400a_n-1，從乙（濃度：b_n-1）中取出100ml溶液，100ml溶液中含溶質(zhì)100b_n-1，剩下的400ml溶液中含溶質(zhì)400b_n-1，由此能用a_n-1，b_n-1表示a_n和b_n．
（2）a_n-b_n=

1

5

（4a_n-1+b_n-1）-

1

5

（4b_n-1+a_n-1）=

3

5

（a_n-1-b_n-1），由此能證明數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列．
（3）a_n-1+b_n-1=a₁+b₁=30%，a_n=

1

5

（4a_n-1+b_n-1）=

1

5

[4a_n-1+（30%-a_n-1）=15%-5%•（

3

5

）^n-1，由此能求出b_n=30%-a_n=15%+5%×（

3

5

）^n-1．

解答： （1）解：從甲（濃度：a_n-1）中取出100ml溶液，
100ml溶液中含溶質(zhì)100a_n-1，剩下的400ml溶液中含溶質(zhì)400a_n-1，
從乙（濃度：b_n-1）中取出100ml溶液，
100ml溶液中含溶質(zhì)100b_n-1，
剩下的400ml溶液中含溶質(zhì)400b_n-1，
調(diào)和后，甲中含溶質(zhì)400a_n-1+100b_n-1，
濃度a_n=

1

500

（400a_n-1+100b_n-1）=

1

5

[4a（n-1）+b（n-1）]，
乙中含溶質(zhì)400b_n-1+100a_n-1，
濃度b_n=

1

500

（400b_n-1+100a_n-1）=

1

5

[4b_n-1+a_n-1]．
（2）證明：a_n-b_n=

1

5

（4a_n-1+b_n-1）-

1

5

（4b_n-1+a_n-1）
=

3

5

（a_n-1-b_n-1），

an-bn

an-1-bn-1

=

3

5

，
∴數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列．
（3）解：a_n-1+b_n-1=a₁+b₁=30%，
a_n=

1

5

（4a_n-1+b_n-1）=

1

5

[4a_n-1+（30%-a_n-1）
=

1

5

an-1+6%
=

3

5

（

3

5

a_n-2+6%）+6%
=…=a₁（

3

5

）^n-1+6%[1+

3

5

+（

3

5

）²+…+（

3

5

）^n-2]
=10%×（

3

5

）^n-1+6%×[1-（

3

5

）^n-1]×

1

1- 3 5

=10%×（

3

5

）^n-1+6%×

5

2

[1-（

3

5

）^n-1]
=10%×（

3

5

）^n-1+6%×（

5

2

）[1-（

3

5

）^n-1]
=10%×（

3

5

）^n-1+15%[1-（

3

5

）^n-1]
=15%+10%×（

3

5

）^n-1-15%×（

3

5

）^n-1
=15%-5%•（

3

5

）^n-1，
∵a_n+b_n=a₁+b₁=30%，
∴b_n=30%-a_n
=15%+5%×（

3

5

）^n-1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的表示，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要注意溶液知識的合理運(yùn)用．