Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差d=1，由此能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+3×{2}^{n}+3}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，利用裂項(xiàng)求和法能證明數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列，
∴（1+5d）²=（1+2d）（1+11d），且d＞0，
解得d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=$\frac{{2}^{a}n}{{{（2}^{a}n）}^{2}+3{•2}^{a}n+3}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}）^{2}+3×{2}^{n}+3}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$
=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n-1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+…+$$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和小于$\frac{1}{2}$的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．